# Ein Beispiel zur Kosten- und Preistheorie

## Problembeschreibung

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Dokumentnummer: D1513
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Gegeben ist eine quadratische Kostenfunktion. Das Betriebsoptimum und 
die langfristige Preisuntergrenze sind gesucht.

Definition: Das Betriebsoptimum ist jene Produktionsmenge, bei der die
Durchschnittskosten ein Minimum annehmen.

## Problemlösung

EINGABE

K:read("Gib die quadratische Kostenfunktion K(x):= ein");

VERARBEITUNG

Definition: Die Durchschnittskosten erhält man, in dem man die Gesamtkosten
durch die Menge dividiert.

DK(x):=K(x)/x;

Betriebsoptimum

ab:diff(DK(x),x);

l:solve(ab=0,x);

BO:ev(x,l[2]);

BO:BO,numer;

BO:floor(BO*100+0.5)/100.0;

Definition: Das Minimum der Durchschnittskosten wird als langfristige
Preisuntergrenze bezeichnet.

Dazu muss man das Betriebsoptimum in die Durchschnittskosten 
einsetzen.

LPU:DK(BO);

LPU:floor(LPU*100+0.5)/100.0;

EINGABE

Einen brauchbaren Preis erhält man, wenn man die Preisuntergrenze
mit einem Faktor größer als 1 multipliziert (warum?)

VF:read("Multiplikationsfaktor für die Preisermittlung");

VERARBEITUNG

p:LPU*VF;

Definition: Umsatz (Erlös) = Menge X Preis

U(x):=p*x;

U(x);

Definition: Gewinn = Erlös - Kosten

G(x):=U(x)-K(x);

G(x);

Ermittlung der Gewinnzone:
- die Nutzenschwelle ist die untere Grenze der Gewinnzone
- die Nutzengrenze ist die obere Grenze der Gewinnzone

l:solve(G(x)=0,x);

l:l,numer;

Nutzenschwelle (Break Even Point)

NS:x,l[1];

Kaufmännische Rundung

NS:floor(NS*10+0.5)/10.0;

Nutzengrenze

NG:x,l[2];

Kaufmännische Rundung

NG:floor(NG*10+0.5)/10.0;

Den maximalen Gewinn bestimmen: die notwendige Bedingung
ist das Verschwinden der ersten Ableitung.

ab:diff(G(x),x);

l:solve(ab=0,x);

Gewinnmaximale Menge: diese wird auch Cournotsche Menge
genannt und muss aus der Listen l herausgefiltert werden.

CM:x,l[1];

CM:CM,numer;

Maximaler Gewinn: man muss die gewinnmaximale Menge in
die Gewinnfunktion einsetzen

GM:G(CM);

GM:floor(GM*100+0.5)/100.0;

AUSGABE

print("Kostenfunktion",K)$

print("Betriebsoptimum",BO)$

print("langfristige Preisuntergrenze",LPU)$

print("Verkaufspreis",p)$

print("Nutzenschwelle",NS)$

print("Nutzengrenze",NG)$

print("gewinnmaximale Menge",CM)$

print("maximaler Gewinn",GM)$

## Wo wird das im Unterricht eingesetzt?

Funktionen
Gleichungen
Differential- und Integralrechnung
Kosten- und Preistheorie

x;

## Protokollierung Aufgabe

print("Aufgabenstellung")$
print("----------------")$
print("gegebene quadratische Kostenfunktion  ",K)$
print("gegebener Preis           ",p)$
print("================")$
print("Der Rest ist gesucht, die erwarteten Ergebnisse sind angezeigt")$
print("Betriebsoptimum ",BO)$
print("langf. Preis-UG ",LPU)$
print("Nutzenschwelle  ",NS)$
print("Nutzengrenze    ",NG)$
print("gewinnmax. Menge",CM)$
print("Gewinnmaximum   ",GM)$