# Binomialverteilung 
(Steiner-Weilharter IV, S.60 - S.61)

## Musterbeispiele

(1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in einer Familie mit 4 Kindern 
      genau zwei Mädchen gibt?

(2) Ein Spielwürfel wird 4-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
      dass man keinen Sechser erhält?

## Bernoulliversuche

Die Musterbesipiele sind sogenannte Bernoulli-Versuche. Es gibt
genau zwei Möglichkeiten für das Eintreffen eines Ereignisses.

(1) Das Kind ist ein Mädchen. - Das Kind ist kein Mädchen.

(2) Es wurde kein Sechser gewürfelt. - Es wurde (mindestens) ein Sechser gewürfelt.

Bezeichungen:

E = Erfolg
M = Misserfolg

Beispiel für eine Urliste [M,M,M,E,E,M,M,E,E,E,M,M,M,M,M,M ...]

## Simulation

Wir simulieren 10000-mal das Experiment "4-mal würfeln"

wuerfel(i):=random(6)+1;

f(k):=makelist(wuerfel(i),i,1,4);

load(descriptive)$

versuch:makelist(f(k),k,1,10000);

E:sublist(versuch,lambda([e],is(not(member(6,e)))));

M:sublist(versuch,lambda([e],is(member(6,e))));

e:length(E);

m:length(M);

v:e+m;

W[E]:e/v,numer;

W[E]:floor(W[E]*100+0.5)/100.0;

Das ist das Ergebnis der Simulation

## Theoretische Wahrscheinlichkeit

Würfeln mit einem unverfälschten Würfel ist ein Laplace-Experiment.
Daher läßt sich die Wahrscheinlichkeit für E auch theoretisch untersuchen.

W:{1,2,3,4,5,6};

S:cartesian_product(W,W,W,W);

E:subset(S,lambda([e],is(not(member(6,e)))));

s:cardinality(S);

e:cardinality(E);

W[E]:e/s,numer;

W[E]:floor(W[E]*100+0.5)/100.0;

## Bernoullikette

kill(all);

G:{1,0};

S:cartesian_product(G,G,G,G);

A:subset(S,lambda([e],is(not(member(1,e)))));

(5/6)**4;

A0:subset(S,lambda([e],is(e[1]+e[2]+e[3]+e[4]=0)));

A1:subset(S,lambda([e],is(e[1]+e[2]+e[3]+e[4]=1)));

A2:subset(S,lambda([e],is(e[1]+e[2]+e[3]+e[4]=2)));

A3:subset(S,lambda([e],is(e[1]+e[2]+e[3]+e[4]=3)));

A4:subset(S,lambda([e],is(e[1]+e[2]+e[3]+e[4]=4)));

hier muss man den Zusammenhang zu den Binomialkoeffizienten herstellen

A(k):=subset(S,lambda([e],is(sum(e[i],i,1,4)=k)));

faelle:transpose(makelist(A(k),k,0,4));

n:4;

p:1/6;

W(k):=binomial(n,k)*p**k*(1-p)**(n-k);

P:transpose(makelist(W(k),k,0,n));

%,numer;

print(faelle,P)$