# Pascalsches Dreieck

## Problembeschreibung

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Dokumentnummer:D1352
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BINOMIALKOEFFIZIENTEN

Aus der Kombinatorik kennen wir:
1.) das fundamentale Abzählprinzip
2.) die Anzahl der Permutationen (=verschiedene Anordnungen) einer Menge mit n Elementen ist n!

Im folgenden betrachten wir die Menge aller Teilmengen, das ist die Potenzmenge (powerset)

## Problemlösung

A[0]:{};

powerset(A[0]);

Eine Menge mit 0 Elementen hat 1 Teilmenge mit 0 Elementen

A[1]:{a};

powerset(A[1]);

Eine Menge mit 1 Element hat 1 Teilmenge mit 0 Elementen und 1 Teilmenge mit 1 Element

A[2]:{a,b};

powerset(A[2]);

Eine Menge mit 2 Elementen hat 1 Teilmenge mit 0 Elementen, 2 Teilmengen mit 1 Element und 1 Teilmenge mit 2 Elementen

A[3]:{a,b,c};

powerset(A[3]);

Eine Menge mit 3 Elementen hat:
1 Teilmenge mit 0 Elementen,
3 Teilmengen mit 1 Element,
3 Teilmengen mit 2 Elementen und
1 Teilmenge mit 3 Elementen.

A[4]:{a,b,c,d};

powerset(A[4]);

Eine Menge mit 4 Elementen hat:
1 Teilmenge mit 0 Elementen,
4 Teilmengen mit 1 Element,
6 Teilmengen mit 2 Elementen,
4 Teilmengen mit 3 Elementen und
1 Teilmenge mit 4 Elementen.

A[5]:{a,b,c,d,e};

powerset(A[5]);

Eine Menge mit 5 Elementen hat
1 Teilmenge mit 0 Elementen,
5 Teilmengen mit 1 Element,
10 Teilmengen mit 2 Elementen,
10 Teilmengen mit 3 Elementen,
5 Teilmengen mit 4 Elementen und
1 Teilmenge mit 5 Elementen.

Maechtigkeit_der_Potenzmengen:makelist(2**n,n,0,5);

Merke: die Mächtigkeit der Potenzmenge einer Menge von n Elementen ist 2**n

f(n):=(a+b)**n;

makelist(f(n),n,0,5);

expand(%);

transpose(%);

Hier den Zusammenhang mit oben klären: Binomialkoeffizienten!

f(n,k):=binomial(n,k);

g(n):=makelist(f(n,k),k,0,n);

makelist(g(n),n,0,5);

transpose(%);

Das ist das sogenannte Pascalsche Dreieck