# Umsatzmaximierung bei linearer Nachfragefunktion

## Problembeschreibung

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Dokumentnummer: D1251
Quelle: Johann Weilharter,
Kosten- und Preistheorie
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Eine Funktion x=x(p) heißt Nachfragefunktion. Obwohl der Preis die Bedeutung
der unabhängigen Variablen hat, schreibt man aber häufig: p=p(x)

Normales Nachfragegesetz: 
Wenn der Preis steigt, sinkt die Nachfrage und 
wenn der Preis sinkt, steigt die Nachfrage.

Lineare Nachfragefunktion: p = a*x +b

Liste mit zwei Punkten einer Nachfragefunktion: [ [p1,x1], [p2,x2] ]

## Problemlösung

EINGABE

Punkte:read("Gib zwei Punkte einer linearen Nachfragefunktion ein");

VERARBEITUNG

Koordinaten der Punkte bestimmen

p1:Punkte[1][1];

x1:Punkte[1][2];

p2:Punkte[2][1];

x2:Punkte[2][2];

Ansatz für eine lineare Nachfragefunktion

g(p,x):=p=a*x+b;

Einsetzen der Punkte

g1:g(p1,x1);

g2:g(p2,x2);

Gleichungssystem auflösen (Bestimmen der
Koeffizienten)

l:solve([g1,g2],[a,b]);

a:ev(a,l[1][1]);

b:ev(b,l[1][2]);

Die Nachfragefunktion formulieren

p(x):=a*x+b;

p(x);

Bestimmung der Sättigungsmenge

l:solve(p(x)=0,x);

xs:ev(x,l[1]);

p(xs);

Bestimmung der Preisobergrenze

po:p(0);

l:solve(p(x)=po,x);

Umsatzfunktion

U(x):=p(x)*x;

U(x);

U(x),expand;

Bestimmung der gewinnmaximalen Menge

ab:diff(U(x),x);

l:solve(ab=0,x);

xm:ev(x,l[1]);

Bestimmung des gewinnmaximalen Preises

p(xm);

p(xm),numer;

Maximaler Umsatz

U(xm);