# Betriebsoptimum und langfristige
Preisuntergrenze

## Problembeschreibung

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Dokumentnummer: D1242
Quelle: Johann Weilharter,
             Kosten- und Preistheorie
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Gegeben ist eine Kostenfunktion. Das Betriebsoptimum
ist jede Produktionsmenge, bei der die Durchschnitts-
kosten am kleinsten werden. Die langfristige Preis-
untergrenze ist das Minimum der Durchschnittskosten.

## Problemlösung

EINGABE

K:read("Gib eine Kostenfunktion ein");

VERARBEITUNG

Man erhält die Durchschnittskosten, in dem man die
Gesamtkosten durch die Produktionsmenge dividiert.

DK(x):=K(x)/x;

DK(x);

Notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extrem-
werts ist, dass die erste Ableitung NULL wird.

Wir bestimmen daher die Ableitung der Durchschnitts-
kosten.

ab:diff(DK(x),x);

Wir bestimmen nur reelle Nullstellen (realroots()
statt solve())

l:realroots(ab=0);

Wie viele reelle Lösungen gibt es?

n:length(l);

Die Lösungen in einzelne Werte auflösen:

for i:1 thru n do xE[i]:ev(x,l[i]),numer;

Wenn ein Minimum vorliegen soll, muss die zweite
Ableitung größer als NULL sein.

ab2:diff(ab,x);

for i:1 thru n do
    if ev(ab2,x=xE[i])>0 then ev(xmin:xE[i]);

AUSGABE

Ausgabe des Betriebsoptimums

print("Das Betriebsoptimum der Kostenfunktion K(x)=",K(x),"ist",xmin);

Berechnung und Ausgabe der langristigen Preisuntergrenze

lpu:DK(xmin);

print("Die langfristige Preisuntergrenze ist",lpu);