# Polynomfunktion vierten Grades

## Aufgabenstellung

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Dokumentnummer: D1089
Quelle: Prüfungsdatenbank
             Mecklenburg-Vor-
             pommern, LK 2000
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Der Graph einer ganzrationalen Funktion f mit der Gleichung
y = f(x) = a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e besitzt die lokalen Extremwerte
E1, E2, E3 und an der Stelle x = 0 eine Tangente t mit der Gleichung
y = 4*x + 5. Gegeben sind E1(-1,1) und E2(2,f(2)).

4.1  Berechnen Sie die Koeffizienten a, b, c, d, e mit Hilfe obiger
        Bedingungen.

4.2  Bestimmen Sie die Koordinaten von E3 und die aller Wendepunkte
       des Graphen von f .
       Begründen Sie, dass die Funktion f keine Nullstellen hat.
       Stellen Sie f grafisch dar.

4.3  Der Graph von f und die Gerade durch die Minimumpunkte begrenzen
       eine Fläche vollständig.
       Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

4.4  Die Gerade y = 5 schneidet den Graphen von f aus in P1(0,5 und P2(1,5)
       in zwei weiteren Punkten.
       Berechnen Sie die Abszissen dieser beiden Punkte.

## Lösung

g(x,y):=y=a*x**4+b*x**3+c*x**2+d*x+e;

f(x):=''rhs(g(x,y));

Es gibt drei Extremwerte E1(-1,1), E2(2,f(2)), E3

g1:g(-1,1);

ab:diff(f(x),x);

g3:ab=0,x=-1;

g4:ab=0,x=2;

Für x=0 gibt es eine Tangente y = 4x + 5

g2:ab=4,x=0;

g5:g(0,5);

l:solve([g1,g2,g3,g4,g5],[a,b,c,d,e]);

g(x,y),l[1];

Bestimmen Sie die Koordinaten von E3

f:f(x),l[1];

f;

h(x):=''f;

ab:diff(h(x),x);

l:solve(ab=0,x);

h(1/2);

E3:[1/2,h(1/2)];

Es gibt keine Nullstellen:

l:realroots(h(x)=0);

Grafische Darstellung der Funktion

wxplot2d([h(x)], [x,-5,5])$

Bestimmung der Wendepunkte

ab2:diff(h(x),x,2);

l:realroots(ab2=0);

l:l,numer;

x1:x,l[1];

x2:x,l[2];

y1:h(x1);

y2:h(x2);

Maxima oder Minima?

ab2,x=-1;

ab2,x=1/2;

ab2,x=2;

Flächenberechnung

g(x,y):=y=k*x+d;

g1:g(-1,1);

h(2);

g2:g(2,1);

solve([g1,g2],[k,d]);

f:-2*3+integrate(h(x),x,-1,2);

flaeche:f,numer;

Die Gerade y=5 schneidet in weiteren zwei Punkte. Berechnen Sie
die Abszissen.

l:realroots(h(x)=5);

l:l,numer;

a1:l[1];

a2:l[3];